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Accueil du site > Equipes de recherche > Condensats de Bose-Einstein

Condensats en rotation et réseaux de vortex

Nous décrivons ici quelques études menées au laboratoire entre 1999 et 2005 sur des condensats en rotation, contenant un ou plusieurs tourbillons quantiques (ou vortex).

Composition de l’équipe

Membre permanent :
- Jean Dalibard, CNRS
Postdocs :
- Kirk Madison (1999-2001)
- Peter Rosenbusch (2001-2002)
- Zoran Hadzibabic (2003-2007)
Etudiants en thèse :
- Frédéric Chevy (1998-2002)
- Vincent Bretin (2000-2004)
- Sabine Stock (2002-2006)

Sommaire de cette page

Pourquoi des vortex ?
Nucléation et visualisation de vortex
Mesure du moment cinétique
Phase d’un état à un vortex
Forme et excitation de la ligne de vortex
Réseau d’Abrikosov
Condensat en rotation rapide

Pourquoi des vortex ?

La mise en rotation d’un fluide quantique révèle de manière spectaculaire les contraintes qu’impose la mécanique quantique. Si le fluide composé de particules de masse $m$ et de densité locale $\rho(\vec r)$ est décrit par une fonction d’onde macroscopique :

$\psi(\vec r)=\sqrt{\rho(\vec r)}\;e^{i\theta(\vec r)}$

alors le champ de vitesse au sein du fluide, en un point où la densité n’est pas nulle, est donné par :

$\vec v(\vec r)=\frac{\hbar}{m}\vec \nabla \theta$

Ce champ de vitesse a toujours un rotationnel nul. Il ne peut donc pas être égal au champ de vitesse d’un objet classique en rotation uniforme à fréquence angulaire $\Omega$ :

$\vec v_{\rm clas.}(\vec r)=\vec \Omega\times \vec r$

La mise en rotation d’un fluide quantique passe généralement par la nucléation de vortex. Un vortex est une ligne le long de laquelle la densité est nulle et autour de laquelle la circulation de la vitesse est quantifiée :

$\oint \vec v(\vec r)\cdot d\vec r=n\frac{h}{m}$

où $n$ est un entier. Dans les expériences qui suivent, les vortex observés correspondent tous à $n = 1$ . L’existence de ces vortex fut prédite par Onsager et Feynman. La quantification de la circulation de la vitesse fut démontrée expérimentalemnt par J. Vinen et ses collaborateurs. Les vortex furent observés pour la première fois dans l’hélium liquide par R. Packard et son équipe. Des objets équivalents apparaissent dans les supraconducteurs de type II, plongés dans un champ magnétique. Dès la découverte des condensats gazeux en 1995, la recherche de ces vortex en leur sein a été très active. Le premier vortex a été observé à Boulder en 1999, dans un mélange de deux espèces, le premier condensat tournant autour du second. Ce vortex fut nucléé en "imprimant optiquement" sur le premier condensat la phase requise, $\exp(i\theta)$ . Quelques mois plus tard, notre équipe réussissait à mettre en évidence un, puis plusieurs, vortex en mettant directement le condensat en rotation avec un agitateur laser. L’étude des vortex est un enjeu important de notre champ de recherche. Ces vortex apparaissent en effet dans tous les domaines où la physique quantique macroscopique est en jeu, et les condensats gazeux constituent un système très commode pour étudier la nucléation et la dynamique de ces objets "universels". En ce qui concerne les condensats gazeux, ces vortex ont également été observés au MIT et à Oxford.

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Nucléation et visualisation de vortex

Nous préparons d’abord un condensat contenant environ 300 000 atomes. Ce condensat est confiné dans un piège magnétique qui a la symétrie de rotation autour d’un axe noté z (horizontal). La fréquence d’oscillation le long de l’axe z est environ 10 Hz. Dans le plan transverse, elle est nettement plus élevée, et ajustable entre 100 et 200 Hz. Dans ces conditions, le condensat a une forme de cigare, de longueur selon z de l’ordre de 100 micromètres, et de diamètre dans le plan xy de l’ordre de 6 micromètres.

Nous mettons ensuite ce condensat en rotation avec un faisceau laser, qui joue un rôle analogue à celui de la cuillère qu’on utilise pour mélanger le sucre dans une tasse de café. La position de cet agitateur laser est contrôlé par deux modulateurs acousto-optiques.

La détection directe de vortex au sein du condensat n’est pas possible. En effet, la taille du cœur du vortex, c’est-à-dire la distance sur laquelle la densité du condensat est notablement diminuée du fait de la rotation, ne vaut qu’une fraction de micromètre. Cette taille est trop petite pour être mesurée par des méthodes optiques conventionnelles. Nous avons donc mis au point une technique d’imagerie destructive, utilisant un temps de vol : à un instant donné, on coupe le piège magnétique confinant le condensat. Celui-ci s’étale alors très rapidement dans le plan transverse, du fait des interactions répulsives entre atomes. Après une durée de l’ordre de 25 millisecondes, toutes les distances dans le plan transverse ont été multipliées par 40 environ, et le cœur du vortex, qui mesure maintenant une dizaine de microns, peut être détecté.

Les deux images ci-dessous ont été prises en mesurant l’absorption d’un faisceau laser résonnant par le condensat, après temps de vol. L’image de gauche a été obtenue en faisant tourner le condensat à une fréquence relativement basse : on n’observe aucune différence par rapport à un condensat qu’on n’aurait pas fait tourner. L’image de droite a été prise avec une fréquence de rotation plus élevée. Un trou est nettement visible au centre du condensat : c’est un vortex. La fréquence de rotation critique pour l’apparition de ce vortex est environ $0.7\, \omega_\perp$ , où $\omega_\perp$ est la fréquence d’oscillation dans le plan $xy$ , perpendiculaire à l’axe du cigare. Cette fréquence est notablement plus élevée que celle attendue par des considérations purement thermodynamiques, et elle correspond à la fréquence de résonance du mode quadrupolaire tournant.

K.W. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 84, 806 (2000) : Vortex formation in a stirred Bose-Einstein condensate.

K. W. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben, and J. Dalibard, cond-mat/0004037, Jour. Mod. Optics 47, 2715 (2000) : Vortices in a stirred Bose-Einstein condensate.

K.W. Madison, F. Chevy, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 86, 4443 (2001) : Stationary states of a rotating Bose-Einstein condensate : Routes to vortex nucleation.

M. Cozzini, S. Stringari, V. Bretin, P. Rosenbusch, and J. Dalibard, Phys. Rev. A 67, 021602 (2003) : Scissors mode of a rotating Bose-Einstein condensate

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Mesure du moment cinétique

Pour mesurer le moment cinétique du condensat tournant, nous avons utilisé une technique suggérée théoriquement par Sandro Stringari et Francesca Zambelli (Phys. Rev. Lett. 81, 1754 (1998)). On excite les deux modes d’oscillation quadrupolaire du condensat, $m = +2$ et $m = -2$ , et on mesure leur fréquence. En l’absence de rotation du condensat, ces deux fréquences sont égales. En revanche, si le condensat a un certain moment cinétique moyen $L_z$ par atome, la différence entre ces deux fréquences s’écrit :

$\omega_+-\omega_-=\frac{2L_z}{Mr_\perp^2}$

où $M$ est la masse d’un atome et $r_\perp$ représente le rayon du condensat. La mesure de la différence entre les deux fréquences permet ainsi de remonter à la valeur recherchée du moment cinétique, pourvu que l’on connaisse la taille du condensat (ce qui est aisé). Cette mesure est en quelque sorte un analogue microscopique du pendule de Foucault, qui révèle la rotation terrestre.

Le résultat de la mesure de ce moment cinétique en fonction de la fréquence de rotation $\Omega$ est donné sur la figure suivante. Quand on essaie de faire tourner le condensat en dessous de la fréquence de rotation critique, aucun moment cinétique moyen n’est détecté. Juste à la fréquence critique, correspondant à l’apparition d’un vortex centré, on mesure un moment cinétique moyen par atome égal à $\hbar$ ( $h/2\pi$ ). Le moment cinétique moyen augmente alors régulièrement au fur et à mesure que de nouveau vortex apparaissent et se rapprochent du centre du condensat. Pour des fréquences trop élevées, le condensat n’est plus mis en rotation et le moment cinétique retombe à 0.

F. Chevy, K. Madison, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 85, 2223 (2000) : Measurement of the angular momentum of a rotating condensate.

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Phase d’un état à un vortex

Grâce à une expérience de type "fentes d’Young", dans laquelle nous avons fait interférer notre condensat avec lui-même, nous avons pu vérifier que le profil de phase d’un état à un vortex était bien en $\exp(i\theta)$ , où $\theta$ est l’angle azimuthal autour de l’axe $z$ . La figure d’interférence caractéristique de ce profil de phase présente une "dislocation" en son centre, alors que les franges d’interférence obtenues en absence de vortex sont rectilignes. Selon la phase relative des deux copies du condensat que nous faisons interférer, la dislocation apparaît comme une frange brillante ou une frange sombre.


Franges d’interférence en l’absence de vortex (gauche) et en présence de vortex (2 images de droite)

F. Chevy, K.W. Madison, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev. A 64 031601R (2001) : Interferometric detection of a single vortex in a dilute Bose-Einstein condensate.

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Forme et excitation de la ligne de vortex

Les photos de vortex montrées ci-dessus ont été obtenues en observant le condensat dans l’axe du vortex. Pour avoir accès à la forme de la ligne de vortex, nous avons mis au point un système d’observation transverse. Nous avons trouvé que la ligne n’était pas toujours droite, et prenait souvent la forme d’un U ou d’un N. Nous avons mesuré l’évolution de cette forme en fonction du temps et nous avons trouvé que la ligne passait d’une forme quasi-droite au départ à une forme repliée sur elle-même et localisée sur le bord du condensat après une dizaine de secondes.

Nous avons également mise en évidence le mode de Kelvin de cette ligne. Pour cela, nous avons excité le mode quadrupolaire transverse $m=-2$ dans un condensat avec un vortex unique. Nous avons observé la désexcitation de ce mode en deux "kelvons" (quanta du mode de Kelvin) de direction opposée et de même énergie (ce qui conserve l’impulsion). Chaque kelvon a un moment cinétique $m=-1$ , de sorte que seul le mode quadrupolaire $m=-2$ peut se désexciter de cette manière (pas le mode $m=+2$ ).

P. Rosenbusch, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 89, 200403 (2002) : Dynamics of a single vortex line in a Bose-Einstein condensate

V. Bretin, P. Rosenbusch, F. Chevy, G.V. Shlyapnikov, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 90, 100403 (2003) : Quadrupole Oscillation of a Single-Vortex Condensate : Evidence for Kelvin Modes

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Réseau d’Abrikosov

Quand on fait tourner le condensat à une fréquence plus élevée que la fréquence critique $0.7\, \Omega_\perp$ , on observe la nucléation de plusieurs vortex. Quand leur nombre est grand devant 1, on constate qu’ils s’ordonnent en un réseau triangulaire. Ce type de réseau est bien connu pour les vortex apparaissant dans les supraconducteurs de type II plongés dans un champ magnétique. Il porte le nom de réseau d’Abrikosov. Les figures ci-dessous montrent des réseaux contenant jusqu’à 14 vortex. En utilisant des condensats beaucoup plus gros que le nôtre, le groupe du MIT et le groupe de Boulder ont observé des réseaux contenant plus de 100 vortex.

Comme l’a montré Feynman, si l’on prend la moyenne "à gros grains" de ce champ de vitesse (c’est-à-dire si on le lisse sur une distance grande devant la distance entre deux vortex adjacents), on retrouve le champ de vitesse classique :

$\vec v(\vec r)=\Omega\times \vec r$

F. Chevy, K. Madison, V. Bretin, J. Dalibard, cond-mat/0104218, Proceedings of the workshop Trapped particles and fundamental physics (Les Houches 2001), organized by S. Atutov, K. Kalabrese and L. Moi : Formation of quantized vortices in a gaseous Bose-Einstein condensate.

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Condensat en rotation rapide

La rotation rapide d’un condensat est obtenue quand la fréquence de rotation $\Omega$ devient de l’ordre de la fréquence de piégeage transverse $\omega_\perp$ . La force centrifuge et la force de piégeage se compensent presque et l’extension spatiale du condensat devient très grande. L’étude de cette rotation rapide présente un intérêt important, car la situation obtenue est formellement équivalente à celle conduisant à l’effet Hall quantique dans les gaz bi-dimensionnels d’électrons. La description physique du système en rotation se fait dans le niveau de Landau fondamental (Lowest Landau Level) ; si le nombre de vortex reste petit devant le nombre de particules, une description en terme de champ moyen est correcte. Quand le nombre de vortex atteint ou dépasse le nombre de particules, on entre dans un régime fortement corrélé, analogue de celui conduisant à l’effet Hall quantique fractionnaire. Ce dernier cas n’a pas encore été mis en évidence expérimentalement.

Sur le plan théorique, nous avons étudié la disposition des vortex pour un gaz en interaction dans le régime LLL en utilisant une méthode de champ moyen (Amandine Aftalion, Xavier Blanc, Jean Dalibard, Phys. Rev. A 71, 023611 (2005) : Vortex patterns in a fast rotating Bose-Einstein condensate). Nous avons également examiné le cas du gaz parfait en rotation rapide. Nous avons montré que des vortex étaient également présents dans ce cas, et nous avons relié leurs positions aux racines d’un polynôme aléatoire (Y. Castin , Z. Hadzibabic, S. Stock, J. Dalibard, and S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 96, 040405 (2006) : Seeing zeros of random polynomials : quantized vortices in the ideal Bose gas)

Sur le plan expérimental, pour étudier ce régime de rotation rapide tout en évitant l’explosion du condensat, nous avons superposé un potentiel quartique au potentiel harmonique de confinement. La variation de l’apparence du réseau de vortex quand $\Omega$ croît est représentée sur la figure ci-dessous, obtenue pour $\omega_\perp/2\pi=65$ Hz. Tant que $\Omega<\omega_\perp$ , le réseau de vortex reste bien ordonné. Au dessus de cette fréquence, les vortex forment une figure plus désordonnée et leur constraste chute fortement. Cet effet probablement dû à une instabilité longitudinale des lignes de vortex quand $\Omega$ dépasse $\omega_\perp$ .

Nous avons également étudié le mode monopolaire de ce condensat en rotation rapide. La structure de ce mode peut en effet apporter des renseignements très utiles sur la nature de l’état du gaz dans ce régime. Cette oscillation monopolaire fait apparaître une structure "d’ondes rentrantes", comme on peut le voir sur la figure ci-dessous, réalisée pour $\Omega/2\pi=67$ Hz, en prenant une image toutes les millisecondes au cours de l’oscillation monopolaire.

P. Rosenbusch, D.S. Petrov, S. Sinha, F. Chevy, V. Bretin, Y. Castin, G. Shlyapnikov, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 88, 250403 (2002) : Critical rotation of a harmonically trapped Bose gas.

V. Bretin, S. Stock, Y. Seurin, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004) : Fast Rotation of a Bose-Einstein Condensate

S. Stock, V. Bretin, F. Chevy and J. Dalibard, Europhys. Lett. 65, 594 (2004) : Shape oscillation of a rotating Bose-Einstein condensate

Pour le mode monopolaire d’un condensat au repos, voir aussi : F. Chevy, V. Bretin, P. Rosenbusch, K. W. Madison, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 88, 250402 (2002) : The transverse breathing mode of an elongated Bose-Einstein condensate.

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Gaz quantiques

Le développement spectaculaire des techniques de manipulation et de refroidissement d’atomes par des champs électromagnétiques a conduit à l’émergence d’une nouvelle thématique, les gaz quantiques. Il s’agit d’assemblées d’atomes froids, dans lesquelles les comportements collectifs des particules sont très différents de ceux prédits par la physique classique. Pour atteindre ce régime, il faut que la longueur d’onde de de Broglie, qui caractérise la (...)