B. Grémaud

Présentation
 

Ce thème de recherche est consacré à la compréhension des propriétés (niveaux d'énergie, fonctions d'onde, amplitudes de transition...) d'un système quantique dont la dynamique classique est chaotique. En particulier, le lien entre les deux description est fait par les formules de trace, qui sont la généralisation des méthodes du type WKB pour des systèmes à plusieurs degrés de liberté. A la différence d'un système unidimensionnel, il n'y a pas de lien direct entre une énergie propre du système et une trajectoire précise, mais uniquement une relation globale entre toutes les énergies propres (la densité d'état) et toutes les trajectoires périodiques, la contribution des grandeurs classiques se présentant formellement comme un développement asymptotique en puissance de ℏ. Si le premier terme du développement est bien compris et a déjà permis la quantification semi-classique de nombreux systèmes chaotiques, la complexité des termes suivants fait qu'ils ne sont jamais pris en compte sauf pour des systèmes comme les billards, pour lesquels les trajectoires classiques sont suffisamment simples (suite de vols libres entrecoupés de rebonds élastiques sur les bords). Or pour des systèmes comme l'atome d'hydrogène en champ magnétique intense, du fait de l'efficacité des méthodes numériques employées (en particulier, l'inversion harmonique), il est maintenant possible d'analyser quantitativement les effets des termes d'ordre supérieur. Le calcul semi-classique de ces termes a supposé une réflexion profonde sur les propriétés symplectiques de la dynamique et le développement de nouveaux codes numériques relativement complexes. Les résultats obtenus montrent un parfait accord entre la théorie développée et les calculs quantiques exacts [1]. En particulier, nous avons pu mettre en évidence une subtilité caché lors de l'établissement de la formule de trace de Gutzwiller qui engendre un terme supplémentaire dans le calcul des termes d'ordre supérieur.
En outre, pour pouvoir établir des comparaisons avec des résultats expérimentaux, nous avons été amenés à prendre en compte l'effet des symétries, qu'elles soient discrètes (parité) ou continues (invariance par rotation). Dans le premier cas, la théorie des groupes fournit directement les modifications à apporter pour calculer les corrections en ℏ aux formules de traces restreintes à des états appartenant à une des représentations du groupe de symétrie. Le cas de l'invariance par rotation est plus délicat puisque, pour une valeur donnée du moment angulaire, il faut prendre en compte l'effet des termes centrifuges dans le hamiltonien, typiquement ℏ²L²/2/r², qui dans la limite ℏ→0 ne modifient pas la dynamique classique, mais contribuent aux corrections. Là encore, nous avons montré comment prendre proprement en compte ces termes, en particulier leur singularité en r=0, pour calculer leur contribution aux corrections au premier ordre en ℏ aux formules de trace. Les comparaisons numériques, dans le cas de l'hydrogène en champ magnétique, ont montré l'excellent accord entre ces prédictions et les calculs quantiques exacts [2].

Références
 

• [1]  B. Grémaud ℏ corrections in semiclassical formulas for smooth chaotic dynamics Phys. Rev. E 65, 56207 (2002). (PDF)
• [2] B. Grémaud ℏ corrections in the semiclassical analysis of the diamagnetic hydrogen spectrum submitted to Phys. Rev. Lett., nlin.CD/0406055
• [3]  Poster (pdf)